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#memo #mimium #programming-language
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[[音楽プログラミング言語の形式化#mimium と 多段階計算]]
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[[多段階計算]]を取り入れたい
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とりあえず$W$ Calculusを自然に拡張してみる。
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$W$ Calculusとmimiumの形式は似ているが、主に2つの違いがある。
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1. $W$ Calculus はLinear-Time Invariant なシステムを想定しているため、基本演算は項の加算と、項と定数の乗算しか使えない。
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2. $W$ Calculusでは関数が数をとって数を返すものしかない。つまり、関数やfeedの項を取ったり返すような高階関数は想定されていない。
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問題になるのは後者の方だ。
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## 型
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n以下の自然数$I_n$ (ディレイのbounded access用)
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$$
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\begin{align}
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\tau ::=&\quad R_a \quad & a \in \mathbb{N}\\
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|&\quad I_n \quad &n \in \mathbb{N} \\\
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|&\quad \tau → \tau \quad &a,b \in \mathbb{N}\\
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% |&\quad \langle \tau \rangle
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\end{align}
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$$
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とりあえず1要素のタプルと普通のRは区別しないことにする
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(そしてよく見るとこれは関数→関数のような高階関数を許してないんだな)
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そうか高階関数を考えなければクロージャを考慮する必要もないものな
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## 値
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一旦タプルについては考えないことにしよう
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$$
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\begin{align}
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v \; ::= & \quad R \\
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| & \quad \lambda x:\tau.e \quad & [lambda]\\
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|& \quad feed \; x.e \quad & [feed] \\
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\end{align}
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$$
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## 項
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$$
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\begin{align}
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e \; ::=& \quad x \quad x \in \mathbb{V} \quad & [value]\\
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|& \quad \lambda x.e \quad & [lambda]\\
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|& \quad fix \; x.e \quad & [fix]\\
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|& \quad feed \; x.e \quad & [feed] \\
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|& \quad e \; e \quad & [app]\\
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%%|& \quad (e_1,e_2) \quad & [product]\\
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%%|& \quad \pi_n e \quad n\in \mathbb{N},\; n>0 \quad & [project]\\
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%%|& \quad \langle e \rangle \quad & [code] \\
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%%|& \quad \textasciitilde e \quad & [escape]
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\end{align}
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$$
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基本演算（Intrinsic）は直感に任せる
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本来はfixの中でfeedを使ったり、feedの中でfixを使うとエラーだが、結局シンタックスレベルでは排除できないので型でエラーとして弾くことにする…？
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いや値レベルでの切り分けは不可能なので、こうする
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## 実例
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```rust
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fn cascade_f(order:int,fb,x)->float{
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letrec cascade = if(order>0){
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|x|{
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cascade(N-1)(x) *(1-fb) + self*fb
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}
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}else{
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|x| x
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}
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cascade(x)
|
||
}
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```
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まあ、ともあれコピーキャプチャのクロージャでも問題ないってことですね
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```rust
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fn cascade(order:int,fb)->(float->float){
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if(order>0){
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||
|x|{
|
||
cascade(N-1)(x) *(1-fb) + self*fb
|
||
}
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||
}else{
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||
|x| x
|
||
}
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}
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```
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ちょっとわかりやすさのために`self`を使わずfeedにしてみる
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```rust
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fn cascade(order:int,fb)->(float->float){
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||
if(order>0){
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||
|x|{
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||
feed(y) { cascade(N-1)(x) *(1-fb) + y*fb }
|
||
}
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||
}else{
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||
|x| x
|
||
}
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||
}
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```
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あー、今までは`fn(x)`でself使うものを`feed(self).lambda(x).e,`って感じに自動的に変換してたけど、変換するとしたら`lambda(x).feed(x).e`の方が良かったってことなんだな
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これを`cascade(3,0.9)`とかで簡約してみるか
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```rust
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cascade(3,0.9)
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|x|{
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let res = cascade(2)(x);
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feed(y) { res*0.1 + y*0.9 }
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}
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|x1|{
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let res1 =|x2|{
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let res2 = cascade(1)(x2);
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feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
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}(x1);
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||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
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|x1|{
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||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = |x3|{
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||
let res3 = cascade(0)(x3);
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||
feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
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||
}(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
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||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
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||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = |x3|{
|
||
let res3 = |x|{x}(x3);
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||
feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
|
||
}(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
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|x1|{
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||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = |x3|{
|
||
let res3 = x3;
|
||
feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
|
||
}(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
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|x1|{
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||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = |x3|{
|
||
feed(y3) { x3*0.1 + y3*0.9 }
|
||
}(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
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|x1|{
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||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = feed(y3) { x2*0.1 + y3*0.9 };
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||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
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||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
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||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
feed(y2) { feed(y3) { x2*0.1 + y3*0.9 } *0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1 *0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
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||
|x1|{
|
||
let res1 = feed(y2) { feed(y3) { x1 *0.1 + y3*0.9 } *0.1 + y2*0.9 };
|
||
feed(y1) { res1 *0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
feed(y1) {
|
||
feed(y2) {
|
||
feed(y3) { x1*0.1 + y3*0.9} *0.1 + y2*0.9 }*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
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```
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feedの項に対する加算とか乗算の計算は簡約がしづらいなあ
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時間0の時のyは全て0として、
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```rust
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|x1,y1_ref,y2_ref,y3_ref| {
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let y1 = *y1_ref;
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let y1_next= {
|
||
let y2 = *y2_ref;
|
||
let y2_next = {
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||
let y3 = *y3_ref;
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||
let y3_next = x1*0.1 + y3*0.9;
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||
*y3_ref = y3_next;
|
||
y3_next
|
||
}*0.1 + y2*0.9;
|
||
*y2_ref = y2_next;
|
||
y2_next }*0.1 + y1*0.9;
|
||
*y1_ref = y1_next;
|
||
y1_next
|
||
}
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```
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やっぱdenotationalの方が定義しやすいかもなあ
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ああでもfeedを無事に展開できるということは、feedの項に対して`Cell`を割り当てることそのものには間違いはないのか
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ただ、例えばFeedの項の中に関数が残っちゃうような可能性もあるため、Feedのhistoryの中にLambdaの項が保存されるような状況が回避できない。
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型付規則の中でfeed x.eのeがプリミティブというか、Boxedにならないものしか取れないようにすればいいのかね。そうするとValueはCopyトレイトを実装できて、feedの中に実際にはラムダが入ってたとしても、簡約後は必ずValueになっていると
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## 型（改正版）
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というわけで型の定義再訪
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$$
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\begin{align}
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\tau_p ::=&\quad R_a \quad & a \in \mathbb{N}\\
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|&\quad I_n \quad &n \in \mathbb{N} \\
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\tau :: = &\quad \tau_p\\
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|&\quad \tau → \tau \quad &a,b \in \mathbb{N}\\
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% |&\quad \langle \tau \rangle
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\end{align}
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$$
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でFeedの型付け規則(xが)こういう感じになると
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$$
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\frac{\Gamma, x:\tau^a \vdash e:\tau^b}{\Gamma \vdash \lambda x.e:\tau^a \to \tau^b }\\
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\\
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\frac{\Gamma, x : \tau_p^a \vdash e: \tau_p^a }{\Gamma \vdash feed\ x.e:\tau_p^a}
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$$
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タプルとかレコードもできるけど、関数をタプルの要素にしたりはできない（できないでもないけど、「そういう型をとれるタプル」と「そういうのできないタプル」を分けて考える必要がある）、って感じでユーザーにはややこしいですねえ |