378 lines
9.1 KiB
Markdown
378 lines
9.1 KiB
Markdown
#memo #mimium #programminglanguage
|
||
|
||
[[音楽プログラミング言語の形式化#mimium と 多段階計算]]
|
||
|
||
[[多段階計算]]を取り入れたい
|
||
|
||
とりあえず$W$ Calculusを自然に拡張してみる。
|
||
$W$ Calculusとmimiumの形式は似ているが、主に2つの違いがある。
|
||
|
||
1. $W$ Calculus はLinear-Time Invariant なシステムを想定しているため、基本演算は項の加算と、項と定数の乗算しか使えない。
|
||
2. $W$ Calculusでは関数が数をとって数を返すものしかない。つまり、関数やfeedの項を取ったり返すような高階関数は想定されていない。
|
||
|
||
問題になるのは後者の方だ。
|
||
|
||
## 型
|
||
|
||
|
||
|
||
n以下の自然数$I_n$ (ディレイのbounded access用)
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align}
|
||
\tau ::=&\quad R_a \quad & a \in \mathbb{N}\\
|
||
|&\quad I_n \quad &n \in \mathbb{N} \\\
|
||
|&\quad \tau → \tau \quad &a,b \in \mathbb{N}\\
|
||
% |&\quad \langle \tau \rangle
|
||
\end{align}
|
||
$$
|
||
とりあえず1要素のタプルと普通のRは区別しないことにする
|
||
(そしてよく見るとこれは関数→関数のような高階関数を許してないんだな)
|
||
そうか高階関数を考えなければクロージャを考慮する必要もないものな
|
||
|
||
|
||
[[ブロックとサンプルの互換性]]をどうするかが問題?
|
||
|
||
## 値
|
||
|
||
一旦タプルについては考えないことにしよう
|
||
|
||
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align}
|
||
v \; ::= & \quad R \\
|
||
| & \quad \lambda x:\tau.e \quad & [lambda]\\
|
||
|& \quad feed \; x.e \quad & [feed] \\
|
||
\end{align}
|
||
$$
|
||
## 項
|
||
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align}
|
||
e \; ::=& \quad x \quad x \in \mathbb{V} \quad & [value]\\
|
||
|& \quad \lambda x.e \quad & [lambda]\\
|
||
|& \quad fix \; x.e \quad & [fixpoint]\\
|
||
|& \quad e \; e \quad & [app]\\
|
||
|& \quad feed \; x.e \quad & [feed] \\
|
||
|& \quad delay \; e \; e & [delay]\\
|
||
%%|& \quad (e_1,e_2) \quad & [product]\\
|
||
%%|& \quad \pi_n e \quad n\in \mathbb{N},\; n>0 \quad & [project]\\
|
||
%%|& \quad \langle e \rangle \quad & [code] \\
|
||
%%|& \quad \textasciitilde e \quad & [escape]
|
||
\end{align}
|
||
$$
|
||
|
||
基本演算(Intrinsic)は直感に任せる
|
||
|
||
本来はfixの中でfeedを使ったり、feedの中でfixを使うとエラーだが、結局シンタックスレベルでは排除できないので型でエラーとして弾くことにする…?
|
||
いや値レベルでの切り分けは不可能なので、こうする
|
||
|
||
|
||
|
||
## 実例
|
||
|
||
|
||
```rust
|
||
fn cascade(order:int,fb)->(float->float){
|
||
if(order>0){
|
||
|x|{
|
||
cascade(order-1)(x) *(1-fb) + self*fb
|
||
}
|
||
}else{
|
||
|x| x
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
|
||
ちょっとわかりやすさのために`self`を使わずfeedにしてみる
|
||
|
||
```rust
|
||
fn cascade(order:int,fb)->(float->float){
|
||
if(order>0){
|
||
|x|{
|
||
feed(y) { cascade(order-1)(x) *(1-fb) + y*fb }
|
||
}
|
||
}else{
|
||
|x| x
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
あー、今までは`fn(x)`でself使うものを`feed(self).lambda(x).e,`って感じに自動的に変換してたけど、変換するとしたら`lambda(x).feed(x).e`の方が良かったってことなんだな
|
||
|
||
これを`cascade(3,0.9)`とかで簡約してみるか
|
||
|
||
```rust
|
||
cascade(3,0.9)
|
||
|
||
|x|{
|
||
let res = cascade(2)(x);
|
||
feed(y) { res*0.1 + y*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = cascade(1)(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = |x3|{
|
||
let res3 = cascade(0)(x3);
|
||
feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
|
||
}(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = |x3|{
|
||
let res3 = |x|{x}(x3);
|
||
feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
|
||
}(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = |x3|{
|
||
let res3 = x3;
|
||
feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
|
||
}(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = |x3|{
|
||
feed(y3) { x3*0.1 + y3*0.9 }
|
||
}(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = feed(y3) { x2*0.1 + y3*0.9 };
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
feed(y2) { feed(y3) { x2*0.1 + y3*0.9 } *0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1 *0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
let res1 = feed(y2) { feed(y3) { x1 *0.1 + y3*0.9 } *0.1 + y2*0.9 };
|
||
feed(y1) { res1 *0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
feed(y1) {
|
||
feed(y2) {
|
||
feed(y3) { x1*0.1 + y3*0.9} *0.1 + y2*0.9 }*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
feedの項に対する加算とか乗算の計算は簡約がしづらいなあ
|
||
|
||
時間0の時のyは全て0として、
|
||
|
||
```rust
|
||
|x1,y1_ref,y2_ref,y3_ref| {
|
||
let y1 = *y1_ref;
|
||
let y1_next= {
|
||
let y2 = *y2_ref;
|
||
let y2_next = {
|
||
let y3 = *y3_ref;
|
||
let y3_next = x1*0.1 + y3*0.9;
|
||
*y3_ref = y3_next;
|
||
y3_next
|
||
}*0.1 + y2*0.9;
|
||
*y2_ref = y2_next;
|
||
y2_next }*0.1 + y1*0.9;
|
||
*y1_ref = y1_next;
|
||
y1_next
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
やっぱdenotationalの方が定義しやすいかもなあ
|
||
|
||
ああでもfeedを無事に展開できるということは、feedの項に対して`Cell`を割り当てることそのものには間違いはないのか
|
||
|
||
ただ、例えばFeedの項の中に関数が残っちゃうような可能性もあるため、Feedのhistoryの中にLambdaの項が保存されるような状況が回避できない。
|
||
|
||
型付規則の中でfeed x.eのeがプリミティブというか、Boxedにならないものしか取れないようにすればいいのかね。そうするとValueはCopyトレイトを実装できて、feedの中に実際にはラムダが入ってたとしても、簡約後は必ずValueになっていると
|
||
|
||
## 型(改正版)
|
||
|
||
というわけで型の定義再訪
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{align}
|
||
\tau_p ::=&\quad R_a \quad & a \in \mathbb{N}\\
|
||
|&\quad I_n \quad &n \in \mathbb{N} \\
|
||
\tau :: = &\quad \tau_p\\
|
||
|&\quad \tau → \tau \quad &a,b \in \mathbb{N}\\
|
||
% |&\quad \langle \tau \rangle
|
||
\end{align}
|
||
$$
|
||
|
||
でラムダ抽象とFeedの型付け規則こういう感じになると
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{\Gamma, x:\tau^a \vdash e:\tau^b}{\Gamma \vdash \lambda x.e:\tau^a \to \tau^b }
|
||
$$
|
||
$$
|
||
\frac{\Gamma, x : \tau_p^a \vdash e: \tau_p^a }{\Gamma \vdash feed\ x.e:\tau_p^a}
|
||
$$
|
||
|
||
タプルとかレコードもできるけど、関数をタプルの要素にしたりはできない(できないでもないけど、「そういう型をとれるタプル」と「そういうのできないタプル」を分けて考える必要がある)、って感じでユーザーにはややこしいですねえ
|
||
|
||
## Feedのスコープと簡約の順番について
|
||
|
||
ところでさっきの`cascade`関数ってさ、わざわざ高階関数にせず一括でやれるんですかね、
|
||
|
||
```rust
|
||
fn cascade_f(order:int,fb,x)->float{
|
||
letrec cascade = if(order>0){
|
||
|x|{
|
||
cascade(N-1)(x) *(1-fb) + self*fb
|
||
}
|
||
}else{
|
||
|x| x
|
||
}
|
||
cascade(x)
|
||
}
|
||
|
||
let res = cascade_f(3,0.9,input)
|
||
```
|
||
|
||
ともあれコピーキャプチャのクロージャでも問題はなさそうだけども、この状態だと`cascade`のfeedのコンテキストは毎サンプル終了しちゃうって感じなんだよね
|
||
|
||
|
||
## VMのインストラクションとデータ構造
|
||
|
||
```rust
|
||
type Ref = u8;
|
||
enum UpIndex{
|
||
Local(Reg),
|
||
UpValue(u64)
|
||
}
|
||
struct FuncProto{
|
||
instructons: Vec<Instruction>,
|
||
constants: Vec<RawVal>,
|
||
upvalue_idxs: Vec<UpIndex>,
|
||
feed_idx: Vec<u64>
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
この関数だけだとfeedidをどうつければいいかなあ
|
||
|
||
```rust
|
||
fn filterbank(N,input,lowestfreq, margin,filter){
|
||
if(N>0){
|
||
let freq = lowestfreq+N*margin;
|
||
return filter(input,freq)
|
||
+ filterbank(N-1,input,lowestfreq,margin,filter)
|
||
}else{
|
||
return 0
|
||
}
|
||
}
|
||
fn lowpass(input,fb){
|
||
input* (1-fb) + self * fb
|
||
}
|
||
let lowpass = |input,fb|{feed(y) {
|
||
input* (1-fb) + y * fb
|
||
}} }
|
||
let lowpass = |input,fb,ref_y|{
|
||
let res = input* (1-fb)+ deref(ref_y)*fb
|
||
ref_y := res
|
||
res
|
||
}
|
||
res = filterbank(3,input,100,2000,2.0,lowpass)
|
||
```
|
||
|
||
lowpassは最終的にlambda{feed{self}}的な感じになるが、それはfilterbankの中で呼ばれるまではわからない
|
||
lowpassのバイトコードはこんな感じか
|
||
```
|
||
lowpass: //stack 0:input, 1: fb
|
||
moveconst 2 0
|
||
sub 3 1 2
|
||
getfeed 4
|
||
mult 5 2 4
|
||
add 6 3 5
|
||
retfeed 6 1
|
||
const:
|
||
1_i64
|
||
upindexes:
|
||
//nothing
|
||
```
|
||
|
||
```
|
||
global_ftable:
|
||
lowpass
|
||
filterbank
|
||
|
||
filterbank: //stack 0:N,1:input,2:lfreq,3:margin,4:filter
|
||
moveconst 5 0
|
||
gt 6 0 5
|
||
jmpifneg 6 16
|
||
mult 6 0 3
|
||
add 7 2 0
|
||
move 6 6 7
|
||
move 7 4 // get filter
|
||
move 8 1
|
||
move 9 6
|
||
callcls 7 2 1 //result on stack 7
|
||
moveconst 8 1
|
||
sub 9 0 8
|
||
move 10 -1 // get recursive call
|
||
move 11 9 // prepare arguments...
|
||
move 12 1
|
||
move 13 2
|
||
move 14 3
|
||
closure 15 4 // hof requires all function should be closure
|
||
call 10 5 1 //recursive call, result on stack 10
|
||
add 0 7 10
|
||
jmp 1
|
||
moveconst 0 0
|
||
ret 0 1
|
||
const:
|
||
0_i64
|
||
-1_u64
|
||
```
|
||
|
||
feedが呼ばれた時にどのfeedidかを判別するのはランタイム側の役目
|
||
|
||
---
|
||
|
||
```rust
|
||
fn cascade_f(order:int,fb,x)->float{
|
||
letrec cascade = if(order>0){
|
||
|x|{
|
||
cascade(N-1)(x) *(1-fb) + self*fb
|
||
}
|
||
}else{
|
||
|x| x
|
||
}
|
||
cascade(x)
|
||
}
|
||
fn phasor(freq)->float{
|
||
1+self
|
||
}
|
||
fn doubleosc(freq)->freq{
|
||
phasor(freq)+phasor(freq+10)
|
||
}
|
||
let res = cascade_f(3,0.9,input)+doubleosc(440)
|
||
```
|
||
|
||
なんかこんな感じだとして、レキシカルに何番目の関数呼び出しか、 |