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| 2023-09-20T17:12:17+0900 |
#memo #mimium #programming-language
音楽プログラミング言語の形式化#mimium と 多段階計算
多段階計算を取り入れたい
とりあえずThe w-calculus a synchronous framework for the verified modelling of digital signal processing algorithmsを自然に拡張してみる。
W Calculusとmimiumの形式は似ているが、主に2つの違いがある。
WCalculus はLinear-Time Invariant なシステムを想定しているため、基本演算は項の加算と、項と定数の乗算しか使えない。WCalculusでは関数が数をとって数を返すものしかない。つまり、関数やfeedの項を取ったり返すような高階関数は想定されていない。
問題になるのは後者の方だ。
型
n以下の自然数I_n (ディレイのbounded access用)
\begin{align}
\tau ::=&\quad R_a \quad & a \in \mathbb{N}\\
|&\quad I_n \quad &n \in \mathbb{N} \\\
|&\quad \tau → \tau \quad &a,b \in \mathbb{N}\\
% |&\quad \langle \tau \rangle
\end{align}
とりあえず1要素のタプルと普通のRは区別しないことにする (そしてよく見るとこれは関数→関数のような高階関数を許してないんだな) そうか高階関数を考えなければクロージャを考慮する必要もないものな
ブロックとサンプルの互換性をどうするかが問題？
値
一旦タプルについては考えないことにしよう
\begin{align}
v \; ::= & \quad R \\
| & \quad \lambda x:\tau.e \quad & [lambda]\\
|& \quad feed \; x.e \quad & [feed] \\
\end{align}
項
\begin{align}
e \; ::=& \quad x \quad x \in \mathbb{V} \quad & [value]\\
|& \quad \lambda x.e \quad & [lambda]\\
|& \quad e \; e \quad & [app]\\
|& \quad fix \; x.e \quad & [fixpoint]\\
|& \quad feed \; x.e \quad & [feed] \\
|& \quad delay \; e \; e & [delay]\\
\end{align}
基本演算（Intrinsic）は直感に任せる
本来はfixの中でfeedを使ったり、feedの中でfixを使うとエラーだが、結局シンタックスレベルでは排除できないので型でエラーとして弾くことにする…？ いや値レベルでの切り分けは不可能なので、こうする
実例
fn cascade(order:int,fb)->(float->float){
if(order>0){
|x|{
cascade(order-1)(x) *(1-fb) + self*fb
}
}else{
|x| x
}
}
ちょっとわかりやすさのためにselfを使わずfeedにしてみる
fn cascade(order:int,fb)->(float->float){
if(order>0){
|x|{
feed(y) { cascade(order-1)(x) *(1-fb) + y*fb }
}
}else{
|x| x
}
}
あー、今まではfn(x)でself使うものをfeed(self).lambda(x).e,って感じに自動的に変換してたけど、変換するとしたらlambda(x).feed(x).eの方が良かったってことなんだな
これをcascade(3,0.9)とかで簡約してみるか
cascade(3,0.9)
|x|{
let res = cascade(2)(x);
feed(y) { res*0.1 + y*0.9 }
}
|x1|{
let res1 =|x2|{
let res2 = cascade(1)(x2);
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
}(x1);
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
let res1 =|x2|{
let res2 = |x3|{
let res3 = cascade(0)(x3);
feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
}(x2);
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
}(x1);
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
let res1 =|x2|{
let res2 = |x3|{
let res3 = |x|{x}(x3);
feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
}(x2);
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
}(x1);
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
let res1 =|x2|{
let res2 = |x3|{
let res3 = x3;
feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
}(x2);
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
}(x1);
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
let res1 =|x2|{
let res2 = |x3|{
feed(y3) { x3*0.1 + y3*0.9 }
}(x2);
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
}(x1);
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
let res1 =|x2|{
let res2 = feed(y3) { x2*0.1 + y3*0.9 };
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
}(x1);
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
let res1 =|x2|{
feed(y2) { feed(y3) { x2*0.1 + y3*0.9 } *0.1 + y2*0.9 }
}(x1);
feed(y1) { res1 *0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
let res1 = feed(y2) { feed(y3) { x1 *0.1 + y3*0.9 } *0.1 + y2*0.9 };
feed(y1) { res1 *0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
feed(y1) {
feed(y2) {
feed(y3) { x1*0.1 + y3*0.9} *0.1 + y2*0.9 }*0.1 + y1*0.9 }
}
feedの項に対する加算とか乗算の計算は簡約がしづらいなあ
時間0の時のyは全て0として、
|x1,y1_ref,y2_ref,y3_ref| {
let y1 = *y1_ref;
let y1_next= {
let y2 = *y2_ref;
let y2_next = {
let y3 = *y3_ref;
let y3_next = x1*0.1 + y3*0.9;
*y3_ref = y3_next;
y3_next
}*0.1 + y2*0.9;
*y2_ref = y2_next;
y2_next }*0.1 + y1*0.9;
*y1_ref = y1_next;
y1_next
}
やっぱdenotationalの方が定義しやすいかもなあ
ああでもfeedを無事に展開できるということは、feedの項に対してCellを割り当てることそのものには間違いはないのか
ただ、例えばFeedの項の中に関数が残っちゃうような可能性もあるため、Feedのhistoryの中にLambdaの項が保存されるような状況が回避できない。
型付規則の中でfeed x.eのeがプリミティブというか、Boxedにならないものしか取れないようにすればいいのかね。そうするとValueはCopyトレイトを実装できて、feedの中に実際にはラムダが入ってたとしても、簡約後は必ずValueになっていると
型（改正版）
というわけで型の定義再訪
\begin{align}
\tau_p ::=&\quad R_a \quad & a \in \mathbb{N}\\
|&\quad I_n \quad &n \in \mathbb{N} \\
\tau :: = &\quad \tau_p\\
|&\quad \tau → \tau \quad &a,b \in \mathbb{N}\\
% |&\quad \langle \tau \rangle
\end{align}
でラムダ抽象とFeedの型付け規則こういう感じになると
\frac{\Gamma, x:\tau^a \vdash e:\tau^b}{\Gamma \vdash \lambda x.e:\tau^a \to \tau^b }
\frac{\Gamma, x : \tau_p^a \vdash e: \tau_p^a }{\Gamma \vdash feed\ x.e:\tau_p^a}
タプルとかレコードもできるけど、関数をタプルの要素にしたりはできない（できないでもないけど、「そういう型をとれるタプル」と「そういうのできないタプル」を分けて考える必要がある）、って感じでユーザーにはややこしいですねえ
Feedのスコープと簡約の順番について
ところでさっきのcascade関数ってさ、わざわざ高階関数にせず一括でやれるんですかね、
fn cascade_f(order:int,fb,x)->float{
letrec cascade = if(order>0){
|x|{
cascade(N-1)(x) *(1-fb) + self*fb
}
}else{
|x| x
}
cascade(x)
}
let res = cascade_f(3,0.9,input)
ともあれコピーキャプチャのクロージャでも問題はなさそうだけども、この状態だとcascadeのfeedのコンテキストは毎サンプル終了しちゃうって感じなんだよね
VMのインストラクションとデータ構造
type Ref = u8;
enum UpIndex{
Local(Reg),
UpValue(u64)
}
struct FuncProto{
instructons: Vec<Instruction>,
constants: Vec<RawVal>,
upvalue_idxs: Vec<UpIndex>,
feed_idx: Vec<u64>
}
この関数だけだとfeedidをどうつければいいかなあ
fn filterbank(N,input,lowestfreq, margin,filter){
if(N>0){
let freq = lowestfreq+N*margin;
return filter(input,freq)
+ filterbank(N-1,input,lowestfreq,margin,filter)
}else{
return 0
}
}
fn lowpass(input,fb){
input* (1-fb) + self * fb
}
let lowpass = |input,fb|{feed(y) {
input* (1-fb) + y * fb
}} }
let lowpass = |input,fb,ref_y|{
let res = input* (1-fb)+ deref(ref_y)*fb
ref_y := res
res
}
res = filterbank(3,input,100,2000,2.0,lowpass)
lowpassは最終的にlambda{feed{self}}的な感じになるが、それはfilterbankの中で呼ばれるまではわからない lowpassのバイトコードはこんな感じか
lowpass: //stack 0:input, 1: fb
moveconst 2 0
sub 3 1 2
getfeed 4
mult 5 2 4
add 6 3 5
retfeed 6 1
const:
1_i64
upindexes:
//nothing
global_ftable:
lowpass
filterbank
filterbank: //stack 0:N,1:input,2:lfreq,3:margin,4:filter
moveconst 5 0
gt 6 0 5
jmpifneg 6 16
mult 6 0 3
add 7 2 0
move 6 6 7
move 7 4 // get filter
move 8 1
move 9 6
callcls 7 2 1 //result on stack 7
moveconst 8 1
sub 9 0 8
move 10 -1 // get recursive call
move 11 9 // prepare arguments...
move 12 1
move 13 2
move 14 3
closure 15 4 // hof requires all function should be closure
call 10 5 1 //recursive call, result on stack 10
add 0 7 10
jmp 1
moveconst 0 0
ret 0 1
const:
0_i64
-1_u64
feedが呼ばれた時にどのfeedidかを判別するのはランタイム側の役目
fn cascade_f(order:int,fb,x)->float{
letrec cascade = if(order>0){
|x|{
cascade(N-1)(x) *(1-fb) + self*fb
}
}else{
|x| x
}
cascade(x)
}
fn phasor(freq)->float{
1+self
}
fn doubleosc(freq)->freq{
phasor(freq)+phasor(freq+10)
}
let res = cascade_f(3,0.9,input)+doubleosc(440)
なんかこんな感じだとして、レキシカルに何番目の関数呼び出しか、