松浦 知也 Matsuura Tomoya
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date: "2023-09-20T17:12:17+0900"
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#memo #mimium #programming-language
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[[音楽プログラミング言語の形式化#mimium と 多段階計算]]
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[[多段階計算]]を取り入れたい → [[多段階計算を命令型VMインストラクションで表現したい]]
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とりあえず[[The w-calculus a synchronous framework for the verified modelling of digital signal processing algorithms|W Calculus]]を自然に拡張してみる。
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$W$ Calculusとmimiumの形式は似ているが、主に2つの違いがある。
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1. $W$ Calculus はLinear-Time Invariant なシステムを想定しているため、基本演算は項の加算と、項と定数の乗算しか使えない。
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2. $W$ Calculusでは関数が数をとって数を返すものしかない。つまり、関数やfeedの項を取ったり返すような高階関数は想定されていない。
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問題になるのは後者の方だ。
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## 型
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n以下の自然数$I_n$ (ディレイのbounded access用)
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$$
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\begin{align}
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\tau ::=&\quad R_a \quad & a \in \mathbb{N}\\
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|&\quad I_n \quad &n \in \mathbb{N} \\\
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|&\quad \tau → \tau \quad &a,b \in \mathbb{N}\\
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% |&\quad \langle \tau \rangle
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\end{align}
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$$
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とりあえず1要素のタプルと普通のRは区別しないことにする
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(そしてよく見るとこれは関数→関数のような高階関数を許してないんだな)
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そうか高階関数を考えなければクロージャを考慮する必要もないものな
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[[ブロックとサンプルの互換性]]をどうするかが問題？
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## 値
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一旦タプルについては考えないことにしよう
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$$
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\begin{align}
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v \; ::= & \quad R \\
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| & \quad \lambda x:\tau.e \quad & [lambda]\\
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|& \quad feed \; x.e \quad & [feed] \\
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\end{align}
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$$
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## 項
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$$
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\begin{align}
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e \; ::=& \quad x \quad x \in \mathbb{V} \quad & [value]\\
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|& \quad \lambda x.e \quad & [lambda]\\
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||
|& \quad e \; e \quad & [app]\\
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||
|& \quad fix \; x.e \quad & [fixpoint]\\
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||
|& \quad feed \; x.e \quad & [feed] \\
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||
|& \quad delay \; e \; e & [delay]\\
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||
\end{align}
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$$
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基本演算（Intrinsic）は直感に任せる
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本来はfixの中でfeedを使ったり、feedの中でfixを使うとエラーだが、結局シンタックスレベルでは排除できないので型でエラーとして弾くことにする…？
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いや値レベルでの切り分けは不可能なので、こうする
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## 実例
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```rust
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fn cascade(order:int,fb)->(float->float){
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if(order>0){
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|x|{
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cascade(order-1)(x) *(1-fb) + self*fb
|
||
}
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}else{
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||
|x| x
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||
}
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||
}
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```
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ちょっとわかりやすさのために`self`を使わずfeedにしてみる
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```rust
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fn cascade(order:int,fb)->(float->float){
|
||
if(order>0){
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||
|x|{
|
||
feed(y) { cascade(order-1)(x) *(1-fb) + y*fb }
|
||
}
|
||
}else{
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||
|x| x
|
||
}
|
||
}
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||
```
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あー、今までは`fn(x)`でself使うものを`feed(self).lambda(x).e,`って感じに自動的に変換してたけど、変換するとしたら`lambda(x).feed(x).e`の方が良かったってことなんだな
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これを`cascade(3,0.9)`とかで簡約してみるか
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```rust
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cascade(3,0.9)
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|x|{
|
||
let res = cascade(2)(x);
|
||
feed(y) { res*0.1 + y*0.9 }
|
||
}
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||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = cascade(1)(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = |x3|{
|
||
let res3 = cascade(0)(x3);
|
||
feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
|
||
}(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
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||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = |x3|{
|
||
let res3 = |x|{x}(x3);
|
||
feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
|
||
}(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = |x3|{
|
||
let res3 = x3;
|
||
feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
|
||
}(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = |x3|{
|
||
feed(y3) { x3*0.1 + y3*0.9 }
|
||
}(x2);
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
let res2 = feed(y3) { x2*0.1 + y3*0.9 };
|
||
feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
let res1 =|x2|{
|
||
feed(y2) { feed(y3) { x2*0.1 + y3*0.9 } *0.1 + y2*0.9 }
|
||
}(x1);
|
||
feed(y1) { res1 *0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
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||
|x1|{
|
||
let res1 = feed(y2) { feed(y3) { x1 *0.1 + y3*0.9 } *0.1 + y2*0.9 };
|
||
feed(y1) { res1 *0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
|
||
|x1|{
|
||
feed(y1) {
|
||
feed(y2) {
|
||
feed(y3) { x1*0.1 + y3*0.9} *0.1 + y2*0.9 }*0.1 + y1*0.9 }
|
||
}
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||
```
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feedの項に対する加算とか乗算の計算は簡約がしづらいなあ
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||
時間0の時のyは全て0として、
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```rust
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|x1,y1_ref,y2_ref,y3_ref| {
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||
let y1 = *y1_ref;
|
||
let y1_next= {
|
||
let y2 = *y2_ref;
|
||
let y2_next = {
|
||
let y3 = *y3_ref;
|
||
let y3_next = x1*0.1 + y3*0.9;
|
||
*y3_ref = y3_next;
|
||
y3_next
|
||
}*0.1 + y2*0.9;
|
||
*y2_ref = y2_next;
|
||
y2_next }*0.1 + y1*0.9;
|
||
*y1_ref = y1_next;
|
||
y1_next
|
||
}
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```
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||
やっぱdenotationalの方が定義しやすいかもなあ
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ああでもfeedを無事に展開できるということは、feedの項に対して`Cell`を割り当てることそのものには間違いはないのか
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ただ、例えばFeedの項の中に関数が残っちゃうような可能性もあるため、Feedのhistoryの中にLambdaの項が保存されるような状況が回避できない。
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型付規則の中でfeed x.eのeがプリミティブというか、Boxedにならないものしか取れないようにすればいいのかね。そうするとValueはCopyトレイトを実装できて、feedの中に実際にはラムダが入ってたとしても、簡約後は必ずValueになっていると
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## 型（改正版）
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というわけで型の定義再訪
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$$
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\begin{align}
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||
\tau_p ::=&\quad R_a \quad & a \in \mathbb{N}\\
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||
|&\quad I_n \quad &n \in \mathbb{N} \\
|
||
\tau :: = &\quad \tau_p\\
|
||
|&\quad \tau → \tau \quad &a,b \in \mathbb{N}\\
|
||
% |&\quad \langle \tau \rangle
|
||
\end{align}
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||
$$
|
||
|
||
でラムダ抽象とFeedの型付け規則こういう感じになると
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||
$$
|
||
\frac{\Gamma, x:\tau^a \vdash e:\tau^b}{\Gamma \vdash \lambda x.e:\tau^a \to \tau^b }
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||
$$
|
||
$$
|
||
\frac{\Gamma, x : \tau_p^a \vdash e: \tau_p^a }{\Gamma \vdash feed\ x.e:\tau_p^a}
|
||
$$
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||
タプルとかレコードもできるけど、関数をタプルの要素にしたりはできない（できないでもないけど、「そういう型をとれるタプル」と「そういうのできないタプル」を分けて考える必要がある）、って感じでユーザーにはややこしいですねえ
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## Feedのスコープと簡約の順番について
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ところでさっきの`cascade`関数ってさ、わざわざ高階関数にせず一括でやれるんですかね、
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```rust
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||
fn cascade_f(order:int,fb,x)->float{
|
||
letrec cascade = if(order>0){
|
||
|x|{
|
||
cascade(N-1)(x) *(1-fb) + self*fb
|
||
}
|
||
}else{
|
||
|x| x
|
||
}
|
||
cascade(x)
|
||
}
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||
|
||
let res = cascade_f(3,0.9,input)
|
||
```
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ともあれコピーキャプチャのクロージャでも問題はなさそうだけども、この状態だと`cascade`のfeedのコンテキストは毎サンプル終了しちゃうって感じなんだよね
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||
## VMのインストラクションとデータ構造
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||
```rust
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||
type Ref = u8;
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||
enum UpIndex{
|
||
Local(Reg),
|
||
UpValue(u64)
|
||
}
|
||
struct FuncProto{
|
||
instructons: Vec<Instruction>,
|
||
constants: Vec<RawVal>,
|
||
upvalue_idxs: Vec<UpIndex>,
|
||
feed_idx: Vec<u64>
|
||
}
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||
```
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||
|
||
この関数だけだとfeedidをどうつければいいかなあ
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||
```rust
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||
fn filterbank(N,input,lowestfreq, margin,filter){
|
||
if(N>0){
|
||
let freq = lowestfreq+N*margin;
|
||
return filter(input,freq)
|
||
+ filterbank(N-1,input,lowestfreq,margin,filter)
|
||
}else{
|
||
return 0
|
||
}
|
||
}
|
||
fn lowpass(input,fb){
|
||
input* (1-fb) + self * fb
|
||
}
|
||
let lowpass = |input,fb|{feed(y) {
|
||
input* (1-fb) + y * fb
|
||
}} }
|
||
let lowpass = |input,fb,ref_y|{
|
||
let res = input* (1-fb)+ deref(ref_y)*fb
|
||
ref_y := res
|
||
res
|
||
}
|
||
res = filterbank(3,input,100,2000,2.0,lowpass)
|
||
```
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||
|
||
lowpassは最終的にlambda{feed{self}}的な感じになるが、それはfilterbankの中で呼ばれるまではわからない
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||
lowpassのバイトコードはこんな感じか
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||
```
|
||
lowpass: //stack 0:input, 1: fb
|
||
moveconst 2 0
|
||
sub 3 1 2
|
||
getfeed 4
|
||
mult 5 2 4
|
||
add 6 3 5
|
||
retfeed 6 1
|
||
const:
|
||
1_i64
|
||
upindexes:
|
||
//nothing
|
||
```
|
||
|
||
```
|
||
global_ftable:
|
||
lowpass
|
||
filterbank
|
||
|
||
filterbank: //stack 0:N,1:input,2:lfreq,3:margin,4:filter
|
||
moveconst 5 0
|
||
gt 6 0 5
|
||
jmpifneg 6 16
|
||
mult 6 0 3
|
||
add 7 2 0
|
||
move 6 6 7
|
||
move 7 4 // get filter
|
||
move 8 1
|
||
move 9 6
|
||
callcls 7 2 1 //result on stack 7
|
||
moveconst 8 1
|
||
sub 9 0 8
|
||
move 10 -1 // get recursive call
|
||
move 11 9 // prepare arguments...
|
||
move 12 1
|
||
move 13 2
|
||
move 14 3
|
||
closure 15 4 // hof requires all function should be closure
|
||
call 10 5 1 //recursive call, result on stack 10
|
||
add 0 7 10
|
||
jmp 1
|
||
moveconst 0 0
|
||
ret 0 1
|
||
const:
|
||
0_i64
|
||
-1_u64
|
||
```
|
||
|
||
feedが呼ばれた時にどのfeedidかを判別するのはランタイム側の役目
|
||
|
||
---
|
||
|
||
```rust
|
||
fn cascade_f(order:int,fb,x)->float{
|
||
letrec cascade = if(order>0){
|
||
|x|{
|
||
cascade(N-1)(x) *(1-fb) + self*fb
|
||
}
|
||
}else{
|
||
|x| x
|
||
}
|
||
cascade(x)
|
||
}
|
||
fn phasor(freq)->float{
|
||
1+self
|
||
}
|
||
fn doubleosc(freq)->freq{
|
||
phasor(freq)+phasor(freq+10)
|
||
}
|
||
let res = cascade_f(3,0.9,input)+doubleosc(440)
|
||
```
|
||
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||
なんかこんな感じだとして、レキシカルに何番目の関数呼び出しか、
|
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||
[[mimiumの中間表現を考える]] |