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[[音楽プログラミング言語の形式化#mimium と 多段階計算]]

[[多段階計算]]を取り入れたい

とりあえず[[The w-calculus a synchronous framework for the verified modelling of digital signal processing algorithms|W Calculus]]を自然に拡張してみる。
$W$ Calculusとmimiumの形式は似ているが、主に2つの違いがある。

1.　$W$ Calculus はLinear-Time Invariant なシステムを想定しているため、基本演算は項の加算と、項と定数の乗算しか使えない。
2. $W$ Calculusでは関数が数をとって数を返すものしかない。つまり、関数やfeedの項を取ったり返すような高階関数は想定されていない。

問題になるのは後者の方だ。

## 型



n以下の自然数$I_n$ (ディレイのbounded access用)

$$
\begin{align}
\tau ::=&\quad R_a \quad & a \in \mathbb{N}\\
      |&\quad I_n \quad &n \in \mathbb{N} \\\
      |&\quad \tau → \tau \quad &a,b \in \mathbb{N}\\
      % |&\quad \langle \tau \rangle
\end{align}
$$
とりあえず1要素のタプルと普通のRは区別しないことにする
(そしてよく見るとこれは関数→関数のような高階関数を許してないんだな)
そうか高階関数を考えなければクロージャを考慮する必要もないものな


[[ブロックとサンプルの互換性]]をどうするかが問題？

## 値

一旦タプルについては考えないことにしよう



$$
\begin{align}
v \; ::= & \quad R \\
	| & \quad \lambda x:\tau.e  \quad & [lambda]\\
     |& \quad feed \; x.e \quad & [feed] \\
\end{align}
$$
## 項


$$
\begin{align}
e \; ::=& \quad x \quad x \in \mathbb{V} \quad & [value]\\
     |& \quad \lambda x.e  \quad & [lambda]\\
     |& \quad fix \; x.e  \quad & [fixpoint]\\
     |& \quad e \; e \quad & [app]\\
     |& \quad feed \; x.e \quad & [feed] \\
|& \quad delay \; e \; e & [delay]\\
     %%|& \quad (e_1,e_2) \quad & [product]\\
     %%|& \quad \pi_n e \quad n\in \mathbb{N},\; n>0 \quad & [project]\\
     %%|& \quad \langle e \rangle \quad & [code] \\
     %%|& \quad \textasciitilde e \quad & [escape]
\end{align}
$$

基本演算（Intrinsic）は直感に任せる

本来はfixの中でfeedを使ったり、feedの中でfixを使うとエラーだが、結局シンタックスレベルでは排除できないので型でエラーとして弾くことにする…？
いや値レベルでの切り分けは不可能なので、こうする



## 実例


```rust
fn cascade(order:int,fb)->(float->float){
	if(order>0){
		|x|{
			cascade(order-1)(x) *(1-fb) + self*fb 
		}
	}else{
		|x| x
	}
}
```


ちょっとわかりやすさのために`self`を使わずfeedにしてみる

```rust
fn cascade(order:int,fb)->(float->float){
	if(order>0){
		|x|{
			feed(y) { cascade(order-1)(x) *(1-fb) + y*fb }
		}
	}else{
		|x| x
	}
}
```

あー、今までは`fn(x)`でself使うものを`feed(self).lambda(x).e,`って感じに自動的に変換してたけど、変換するとしたら`lambda(x).feed(x).e`の方が良かったってことなんだな

これを`cascade(3,0.9)`とかで簡約してみるか

```rust
cascade(3,0.9)

|x|{
	let res = cascade(2)(x);
	feed(y) { res*0.1 + y*0.9 }
}
|x1|{
	let res1 =|x2|{
		 let res2 = cascade(1)(x2);
		 feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
	}(x1);
	feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
	let res1 =|x2|{
		 let res2 = |x3|{
			 let res3 = cascade(0)(x3);
			 feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
		}(x2);
		 feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
	}(x1);
	feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
	let res1 =|x2|{
		 let res2 = |x3|{
			 let res3 = |x|{x}(x3);
			 feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
		}(x2);
		 feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
	}(x1);
	feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
	let res1 =|x2|{
		 let res2 = |x3|{
			 let res3 = x3;
			 feed(y3) { res3*0.1 + y3*0.9 }
		}(x2);
		 feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
	}(x1);
	feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
	let res1 =|x2|{
		 let res2 = |x3|{
			 feed(y3) { x3*0.1 + y3*0.9 }
		}(x2);
		 feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
	}(x1);
	feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
	let res1 =|x2|{
		 let res2 = feed(y3) { x2*0.1 + y3*0.9 };
		 feed(y2) { res2*0.1 + y2*0.9 }
	}(x1);
	feed(y1) { res1*0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
	let res1 =|x2|{
		 feed(y2) { feed(y3) { x2*0.1 + y3*0.9 } *0.1 + y2*0.9 }
	}(x1);
	feed(y1) { res1 *0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
	let res1 = feed(y2) { feed(y3) { x1 *0.1 + y3*0.9 } *0.1 + y2*0.9 };
	feed(y1) { res1 *0.1 + y1*0.9 }
}
|x1|{
	feed(y1) { 
		feed(y2) { 
			feed(y3) { x1*0.1 + y3*0.9} *0.1 + y2*0.9 }*0.1 + y1*0.9 }
}
```

feedの項に対する加算とか乗算の計算は簡約がしづらいなあ

時間0の時のyは全て0として、

```rust
|x1,y1_ref,y2_ref,y3_ref| {
	let y1 = *y1_ref;
	let y1_next= {
		let y2 = *y2_ref;
		let y2_next = {
			let y3 = *y3_ref;
			let y3_next = x1*0.1 + y3*0.9;
			*y3_ref = y3_next;
			y3_next
		}*0.1 + y2*0.9;
		*y2_ref = y2_next;
		y2_next	}*0.1 + y1*0.9;
	*y1_ref = y1_next;
	y1_next
}
```

やっぱdenotationalの方が定義しやすいかもなあ

ああでもfeedを無事に展開できるということは、feedの項に対して`Cell`を割り当てることそのものには間違いはないのか

ただ、例えばFeedの項の中に関数が残っちゃうような可能性もあるため、Feedのhistoryの中にLambdaの項が保存されるような状況が回避できない。

型付規則の中でfeed x.eのeがプリミティブというか、Boxedにならないものしか取れないようにすればいいのかね。そうするとValueはCopyトレイトを実装できて、feedの中に実際にはラムダが入ってたとしても、簡約後は必ずValueになっていると

## 型（改正版）

というわけで型の定義再訪

$$
\begin{align}
\tau_p ::=&\quad R_a \quad & a \in \mathbb{N}\\
      |&\quad I_n \quad &n \in \mathbb{N} \\
\tau  :: = &\quad \tau_p\\
      |&\quad \tau → \tau \quad &a,b \in \mathbb{N}\\
      % |&\quad \langle \tau \rangle
\end{align}
$$

でラムダ抽象とFeedの型付け規則こういう感じになると

$$
\frac{\Gamma, x:\tau^a \vdash e:\tau^b}{\Gamma \vdash \lambda x.e:\tau^a \to \tau^b }
$$
$$
\frac{\Gamma, x : \tau_p^a \vdash e: \tau_p^a }{\Gamma \vdash feed\ x.e:\tau_p^a}
$$

タプルとかレコードもできるけど、関数をタプルの要素にしたりはできない（できないでもないけど、「そういう型をとれるタプル」と「そういうのできないタプル」を分けて考える必要がある）、って感じでユーザーにはややこしいですねえ

## Feedのスコープと簡約の順番について

ところでさっきの`cascade`関数ってさ、わざわざ高階関数にせず一括でやれるんですかね、

```rust
fn cascade_f(order:int,fb,x)->float{
	letrec cascade = if(order>0){
		|x|{
			cascade(N-1)(x) *(1-fb) + self*fb 
		}
	}else{
		|x| x
	}
	cascade(x)
}

let res = cascade_f(3,0.9,input)
```

ともあれコピーキャプチャのクロージャでも問題はなさそうだけども、この状態だと`cascade`のfeedのコンテキストは毎サンプル終了しちゃうって感じなんだよね


## VMのインストラクションとデータ構造

```rust
type Ref = u8;
enum UpIndex{
	Local(Reg),
	UpValue(u64)
}
struct FuncProto{
	instructons: Vec<Instruction>,
	constants: Vec<RawVal>,
	upvalue_idxs: Vec<UpIndex>,
	feed_idx: Vec<u64>
}
```

この関数だけだとfeedidをどうつければいいかなあ

```rust
fn filterbank(N,input,lowestfreq, margin,filter){
    if(N>0){
	    let freq = lowestfreq+N*margin;
        return filter(input,freq)
                +  filterbank(N-1,input,lowestfreq,margin,filter)
    }else{
        return 0
    }
}
fn lowpass(input,fb){
	input* (1-fb) + self * fb
}
let lowpass = |input,fb|{feed(y) { 
	input* (1-fb) + y * fb
 }} }
let lowpass = |input,fb,ref_y|{
	let res = input* (1-fb)+ deref(ref_y)*fb
	ref_y := res
	res
}
res = filterbank(3,input,100,2000,2.0,lowpass)
```

lowpassは最終的にlambda{feed{self}}的な感じになるが、それはfilterbankの中で呼ばれるまではわからない
lowpassのバイトコードはこんな感じか
```
lowpass: //stack 0:input, 1: fb
	moveconst 2 0
	sub 3 1 2
	getfeed 4
	mult 5 2 4
	add 6 3 5
	retfeed 6 1
const:
	1_i64
upindexes:
	//nothing
```

```
global_ftable:
	lowpass
	filterbank

filterbank: //stack 0:N,1:input,2:lfreq,3:margin,4:filter
	moveconst 5 0
	gt 6 0 5
	jmpifneg 6 16
	mult 6 0 3
	add 7 2 0
	move 6 6 7
	move 7 4 // get filter 
	move 8 1
	move 9 6
	callcls 7 2 1 //result on stack 7
	moveconst 8 1
	sub 9 0 8
	move 10 -1 // get recursive call
	move 11 9 // prepare arguments...
	move 12 1
	move 13 2
	move 14 3
	closure 15 4 // hof requires all function should be closure
	call 10 5 1 //recursive call, result on stack 10
	add 0 7 10
	jmp 1
	moveconst 0 0
	ret 0 1
const:
	0_i64 
	-1_u64
```

feedが呼ばれた時にどのfeedidかを判別するのはランタイム側の役目

---

```rust
fn cascade_f(order:int,fb,x)->float{
	letrec cascade = if(order>0){
		|x|{
			cascade(N-1)(x) *(1-fb) + self*fb 
		}
	}else{
		|x| x
	}
	cascade(x)
}
fn phasor(freq)->float{
	1+self
}
fn doubleosc(freq)->freq{
	phasor(freq)+phasor(freq+10)
}
let res = cascade_f(3,0.9,input)+doubleosc(440)
```

なんかこんな感じだとして、レキシカルに何番目の関数呼び出しか、